Introduzione agli integrali 2/2

Abbiamo dato un significato al simbolo \[ \int_a^b s(x)dx \] solamente per funzioni $s$ costanti a tratti su $[a,b]$. Ora cercheremo di estendere questo significato a funzioni $s$ arbitrarie. Cominciamo come primo passo a lavorare con funzioni $f$ limitate in $[a,b]$.

Sia $f$ una funzione su $[a,b]$. Diciamo che $f$ e' limitata se $\exists M \in \mathbb{R} : \lvert f(x) \rvert \leq M, \forall x \in [a,b]$.

Con riferimento a questa classe di funzioni, diamo ora la definizione di integrale

Sia $f$ una funzione limitata in $[a,b]$. Se esiste uno ed un solo numero $I$ tale che \[ \int_a^b s(x)dx \leq I \leq \int_a^b t(x)dx \] per ogni coppia di funzioni costanti a tratti $s,t$ su $[a,b]$ con \[ s(x) \leq f(x) \leq t(x) \] allora chiamiamo il numero I l'integrale da $a$ a $b$ della funzione $f$ e lo indichiamo con il simbolo $\int_a^b f(x)dx$. In questo caso, chiamiamo la funzione $f$ integrabile su $[a,b]$.

Vediamo di fare un po' di chiarezza. Consideriamo gli insiemi cosi definiti \[ S = \{ \int_a^b s(x)dx : s \leq f \text{ costante a tratti} \] \[ T = \{ \int_a^b t(x)dx : f \leq t \text{ costante a tratti} \] In poche parole S e' l'insieme di tutti gli integrali delle funzioni costanti a tratti che stanno sotto $f$, mentre $T$ e' l'insieme di tutti gli integrali delle funzioni costanti a tratti che stanno sopra $f$. Poiche' $s\leq t$, si ha che per ogni scelta di $s$ e $t$, $\int_a^b s(x)dx \leq \int_a^b t(x)dx$. Quindi ogni elemento di $T$ e' un maggiorante per $S$, e ogni elemento di $S$ e' un minorante per $T$, da cui ne deriva che $S$ e $T$ ammettono rispettivamente $\sup$ e $\inf$, e quindi \[ \int_a^b s(x)dx \leq \sup S \leq \inf T \leq \int_a^b t(x)dx \] da cui deriva che affinche' $f$ sia integrabile occorre che $\sup S = \inf T$. Sicuramente quindi sappiamo che esistono $\sup S$ e $\inf T$. Ma in generale, data una funzione $f$ in $[a,b]$, non possiamo dire se questi due valori sono uguali. Ci sono due fondamentali domande che possiamo porci ora:

• Quali funzioni limitate sono integrabili?
• Come posso calcolare il valore dell'integrale?

Per rispondere alla prima domanda, cominciamo con il trattare una prima sottoclasse di funzioni limitate, ossia quelle monotone.

Sia $f$ una funzione definita su un intervallo $I$. Diciamo che $f$ e' una funzione crescente se $x \leq y \implies f(x) \leq f(y)$. Diciamo che $f$ e' una funzione decrescente se $x \leq y \implies f(x) \geq f(y)$. Diciamo che una funzione e' monotona se e' crescente o decrescente.

Le definizioni di strettamente crescente, strettamente decrescente e strettamente monotona si ottengono sostituendo nella definizione sopra i simboli $\leq,\geq$ con $\lt,gt$.

Una funzione $f$ si dice monotona a tratti su $[a,b]$ se esiste una partizione di $[a,b]$ tale che $f$ e' monotona in ogni sotto-intervallo della partizione.

Le funzioni monotone sono di primaria importanza perche' value il seguente

Sia $f$ una funzione limitata e monotona su $[a,b]$. Allora $f$ e' integrabile su $[a,b]$.

Effettuiamo la dimostrazione nel caso in cui $f$ sia crescente (il caso di funzione decrescente e' del tutto analogo). Prendiamo un numero intero positivo $n$ a piacere, e consideriamo la partizione ottenuta suddividendo l'intervallo $[a,b]$ in $n$ intervalli uguali di lunghezza $(b-a)/n$. Siano $x_0=a,x_1,\ldots,x_n=b$ i punti della suddivisione (ovviamente se abbiamo $n$ intervalli, avremo $n+1$ punti). Introduciamo ora le due funzioni a tratti \[ s_n(x) = f(x_{k-1}), \text{ se } x_{k-1} \lt x < \lt x_k \] \[ t_n(x) = f(x_k), \text{ se } x_{k-1} \lt x < \lt x_k \] Poiche' f e' crescente, avremo $s_n \leq f \leq t_n$. Consideriamo allora \[ \int_a^b t_n-\int_a^b s_n = \sum_{k=1}^n f(x_k)(x_k-x_{k-1}) + \sum_{k=1}^n f(x_{k-1})(x_k-x_{k-1}) \] I termini $(x_k-x_{k-1})$ sono tutti uguali e pari a $(b-a)/n$, quindi possiamo scrivere \[ \int_a^b t_n-\int_a^b s_n = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n[f(x_k)-f(x_{k-1}]= \frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}=\frac{C}{n} \] dove abbiamo posto $C=(b-a)(f(b)-f(a))$. Inoltre, sia $\underline{I}$ l'integrale inferiore e $\overline{I}$ l'integrale superiore. Allora \[ \int_a^b s_n \leq \underline{I} \leq \overline{I} \leq \int_a^b t_n \] da cui \[ 0 \leq \overline{I} - \underline{I} \leq \int_a^b t_n - \int_a^b s_n = \frac{C}{n} \] Poiche' questa relazione vale per ogni $n$, si ha che $\overline{I} - \underline{I} = 0$, per il thm ... e quindi $f$ e' integrabile.

Il teorema precedente ci fornisce quindi anche un metodo per il calcolo dell'integrale.

Sia $f$ una funzione crescente sull'intervallo $[a,b]$, e sia $x_k = a + k(b-a)/n,k=0,1,\ldots,n$. Se esiste un numero $I$ tale che per ogni $n \geq 1$ si ha $$ \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \leq I \leq \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f(x_k) $$ allora questo numero sarà il nostro integrale.

Infatti le due somme non sono altro che integrali di funzioni a tratti particolari. Questo implica che anche l'integrale di $f$ dovrà verificare le medesime disuguaglianze: $$ \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \leq \int_a^b f(x)dx \leq \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f(x_k) $$ ne deriva che $$ 0 \leq \lvert I-\int_a^b f(x)dx \rvert \leq \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)-\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)=\frac{C}{n} $$ dove $C$ è definite come prima. Questo implica che $I = \int_a^b f(x)dx$.

Vediamo subito una prima applicazione con il calcolo dell'integrale della funzione $x^p$, con $p$ intero. Proviamo per prima cosa un risultato preliminare.

Per ogni coppia di interi $n,p \geq 1$ $$\sum_{k=0}^{n-1} \lt \frac{n^{p+1}}{p+1} \lt \sum_{k=1}^{n}k^p$$

Proviamo la prima disuguaglianza, $\sum_{k=0}^{n-1} \lt \frac{n^{p+1}}{p+1}$. Questa e' sicuramente vera per $n=1$. In questo caso il termine a sinistra e' $0$, e il secondo termine e' sicuramente un numero maggiore di $0$. Verifichiamo ora il passo induttivo. $$ \sum_{k=0}^{n} k^p=\sum_{k=0}^{n-1} k^p + n^p \lt \frac{n^{p+1}}{p+1} + n^p $$ Se riuscissimo a provare che $$ \frac{n^{p+1}}{p+1} + n^p \leq \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} $$ avremmo sicuramente vinto. A tal fine moltiplichiamo entrambi I termini per $\frac{p+1}{n^{p+1}}$ e otteniamo $$ 1+\frac{p+1}{n}\leq \bigl({1+\frac{1}{n}}\bigr)^{p+1} $$ ma questa e' vera per la disuguaglianza di Bernoulli (con $x=1/n$ e $n=p+1$). Vediamo la seconda disuguaglianza, $\sum_{k=1}^n k^p \gt \frac{n^{p+1}}{p+1}$. Per $n=1$ e' valida in quanto abbiamo a sinistra $1$ e a destra $\frac{1}{p+1}$ che ha valore massimo $1/2$ quando $p=1$. Inoltre $$ \sum_{k=1}^{n+1} k^p = \sum_{k=1}^{n} k^p + (n+1)^p \gt \frac{n^{p+1}}{p+1} + (n+1)^p $$ Vediamo di provare $$ \frac{n^{p+1}}{p+1} + (n+1)^p \geq \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} $$ Moltiplicando ambo i membri per $(p+1)/n^{p+1}$ si ha $$ 1+\frac{p+1}{n}(1+\frac{1}{n})^p \geq (1+\frac{1}{n})^{p+1} $$ $$ (1+\frac{1}{n})^p(1 + \frac{1}{n}-\frac{p+1}{n}) \leq 1 $$ $$ (1+\frac{1}{n})^p (\frac{p}{n}-1) \geq -1 $$ Ma possiamo scrivere, per la disuguaglianza di Bernoulli $$ (1+\frac{1}{n})^p (\frac{p}{n}-1) \geq (1+\frac{p}{n})(\frac{p}{n}-1)=\frac{p^2}{n^2}-1 $$ e quindi la disuguaglianza iniziale è equivalente a $$ (\frac{p}{n})^2 \geq 0 $$ che è evidentemente vera.

Siamo ora pronti al nostro primo calcolo di integrale.

Sia $p \geq 1$. Allora $$ \int_0^b x^p dx = \frac{b^{p+1}}{p+1} $$

Partiamo dalla doppia disuguaglianza del lemma precedente. $$ \sum_{k=1}^{n-1} k^p \lt \frac{n^{p+1}}{p+1} \lt \sum_{k=1}^{n} k^p $$ Se moltiplichiamo per $(b/n)^{p+1}$ otteniamo $$ \frac{b}{n}\sum_{k=1}^{n-1} (\frac{kb}{n})^p \lt \frac{b^{p+1}}{p+1} \lt \frac{b}{n} \sum_{k=1}^{n} (\frac{kb}{n})^p $$ Se consideriamo i punti $x_k=kb/n$ come i punti di una partizione dell'intervallo $[0,b]$, e se indichiamo con $f$ la funzione $f(x)=x^p$, allora possiamo scrivere l'ultima relazione come $$ \frac{b}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \lt \frac{b^{p+1}}{p+1} \lt \frac{b}{n}\sum_{k=1}^n f(x_k) $$ Ma secondo MT1 , questa relazione implica che la funzione $f$ è integrabile in $[0,b]$ e il suo integrale vale esattamente $\frac{b^{p+1}}{p+1}$.

Nel prossimo post vedremo alcune proprietà degli integrali. Vedremo che in generale le proprietà che abbiamo mostrato valide per gli integrali di funzioni costanti a tratti si potranno estendere anche agli integrali di funzione generica.

Insiemi e funzioni

In questo post diamo le nozioni di base su insiemi e funzioni. Si tratta di argomenti molto generici e vasti, per cui trattiamo solamente quanto basta per affrontare un corso di Analisi Matematica I. Un insieme non e' altro che una collezione di oggetti. Ora gli oggetti possono essere di qualunque tipo, quindi ad esempio insiemi validi possono essere: l'insieme delle lettere dell'alfabeto italiano, l'insieme dei numeri naturali, l'insieme degli imperatori romani. Gli oggetti che appartengono ad un insieme si chiamano elementi. Solitamente gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto, ad esempio $A,B,C,\ldots$ mentre i singoli elementi vengono indicati con le lettere minuscole $a,b,c,\ldots$. Il fatto che un elemento $a$ appartiene all'insieme $A$ si indica con la simbologia \[ a \in A \] Dati due insiemi $A$ e $B$, se ogni elemento di $A$ appartiene a $B$, allora si dice che $A$ e' un sottoinsieme di $B$ e si indica con $A \subseteq B$.

Siano $A,B$ insiemi. $A \subseteq B \iff (x \in A \implies x \in B)$

Siano $A,B$ insiemi. Allora $A = B \iff (A \subseteq B \text{ e } B \subseteq A)$

Un insieme puo' anche non contenere alcun elemento. In questo caso parliamo di insieme vuoto e lo indichiamo con il simbolo $\emptyset$. In questo caso stabiliamo che $\emptyset$ e' un sottoinsieme di qualunqua altro elemento.

Operazioni tra insiemi

Introduciamo alcune operazioni che possono essere eseguite tra due insiemi (unione, intersezione, differenza)

Siano $A,B$ due insiemi. Allora definiamo unione di $A$ e $B$ l'insieme $A \cup B = \{ x : x \in A \text{ o } x \in B \}$

Siano $A,B$ due insiemi. Allora definiamo intersezione di $A$ e $B$ l'insieme $A \cap B = \{ x : x \in A \text{ e } x \in B \}$

Siano $A,B$ due insiemi. Allora definiamo $A - B = \{ x : x \in A \text{ e } x \notin B \}$

Funzioni

Dati due insiemi qualunque $A$ e $B$, una funzione da $A$ in $B$ e' una legge che associa ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$. L'insieme di partenza $A$ si chiama dominio della funzione $f$, mentre l'insieme di arrivo $B$ e' detto codominio di $f$. Se $x \in A$, allora il valore della funzione corrispondente a $x$ viene indicato con la simbologia $f(x)$. La definizione di funzione e' tutta qui, ma occorre fare alcune precisazioni che torneranno utili nel seguito. L'oggetto di studio dell'analisi matematica sono le funzioni reali di variable reale, ossia delle funzioni in cui il dominio e' un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ (l'insieme dei numeri reali) e il codominio e' $\mathbb{R}$.

Definire una funzione significa definire il dominio e una regola univoca attraverso la quale possiamo calcolare $f(x)$ per qualunque $x$ del dominio. La regola puo' essere espressa in qualunque maniera, purche' sia chiara e univoca. Solitamente molte funzioni vengono espresse mediante formule (si dice ad esempio, consideriamo la funzione $f(x)=2x$, ma occorre stabilire fin da ora che una funzione non e' una formula, ma una formula e' solo un modo per descrivere come si calcola $f(x)$ per ogni valore di $x$. Spesso si ha a che fare con funzioni che non hanno una formula esplicita - anzi la maggior parte delle funzioni non ha una formula esplicita in termini di funzioni elementari. Come dicevamo prima, in alcuni casi si parlera della funzione $f(x)=2x$ o $f(x)=\ln(x)$ senza specificare quale sia il loro dominio. In tal caso, si considera in modo tacito come dominio il piu grande sottoinsieme di $\mathbb{R}$ in cui queste funzioni sono definite. Quindi nei casi di cui sopra, il dominio di $f(x)=2x$ sara' $\mathbb{R}$ mentre il dominio di $f(x)=\ln(x)$ sara' $(0,+\inf)$, ossia i numeri reali maggiori di $0$.

Grafici di funzione

Possiamo raprpeentare graficamente una funzione nel piano cartesiano. L'asse delle ascisse rappresenta il dominio, mentre l'asse delle ordinate il codominio. Possiamo quindi fissare alcuni punti $x$ del dominio, calcolare $f(x)$ e tracciare sul grafico i punti $(x,f(x))$. L'insieme $(x, f(x))$ e' detto grafico ella funzione $f$. Si osservi che, poiche' per definizione una funzione associa ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio, ne deriva che se rappresentiamo il dominio sull'asse delle ascisse - come si fa di solito, ogni retta verticale intersechera' il grafico in uno ed un solo punto. In generale, una retta orizzontale potra' incontrare il grafico della funzione una, nessuna o piu' di una volta. E' infatti possibile che un punto del codominio abbia piu' di un punto del dominio che vengono mappati ad esso. Per esempio, consideriamo la funzione $f(x)=x^2$. Abbiamo $f(-1)=f(1)=1$, quindi esistono due punti del dominio, $-1$ e $1$, che hanno immagine $1$.

Massimi, minimi, sup e inf e assioma di completezza

Supponiamo di avere un sottoinsieme $S \subset F$ dove $F$ e' un campo ordinato (ad esempio $\mathbb{R}$).

Un elemento $B \in F$ e' detto un maggiorante di $S$ se $\forall x \in S, x \leq B$. In questo caso diciamo anche che S e' limitato superiormente.

Il massimo di un insieme $S$, se esiste, e' un maggiorante di $S$ che appartiene ad $S$, e si indica con $\max(S)$.

In maniera analoga possiamo definire un minorante e il minimo di un insieme

Un elemento $B \in F$ e' detto un minorante di $S$ se $\forall x \in S, x \geq B$. In questo caso diciamo anche che S e' limitato inferiormente.

Il minimo di un insieme $S$, se esiste, e' un minorante di $S$ che appartiene ad $S$, e si indica con $\min(S)$.

Supponiamo ora di avere l'insieme $S={x \in \mathbb{R} : x<1}$. L'insieme e' chiaramente superiormente limitato, ed ogni numero maggiore o uguale ad 1 e' un maggiorante di $S$. Tuttavia, l'insieme non ha un massimo, in quanto nessun maggiorante (ad esempio $1$) di $S$ appartiene ad $S$. A tal fine introduciamo il concetto di estremo superiore (o $\sup$).

Dato un insieme $S$, chiamiamo $\sup(S)$ quel numero $B$, se esiste, che soddisfa le due condizioni:

B e' un maggiorante di $S$

se $x$ e' un qualunque maggiorante di $S$, allora $x\geq B$

Sia $S \subset F$. Se esiste $\sup(S)$, allora e' unico.

Siano $A$ e $B$ due numeri che verificano la definizione di $sup(S)$. Allora devono essere due maggioranti. La seconda condizione affinche' un numero sia $\sup(S)$ implica che ogni altro maggiorante deve essere maggiore uguale ad esso. Se applichiamo questa definizione rispettivamente ad $A$ e $B$ otteniamo che devono essere vere sia $B \geq A$ che $A \geq B$, il che implica $A=B$.

In maniera del tutto analoga possiamo introdurre il concetto di estremo inferior, o $\inf$ di un insieme $S$. Vale ovviamente un teorema di unicita' del tutto analogo a quello per il $\sup$.

Dato un insieme $S$, chiamiamo $\inf(S)$ quel numero $B$, se esiste, che soddisfa le due condizioni:

B e' un minorante di $S$

se $x$ e' un qualunque minorante di $S$, allora $x\leq B$

Assioma di completezza

Siamo pronti ora ad introdurre l'ultimo fondamentale assioma che differenzia il campo dei numeri reali $\mathbb{R}$ da quello dei numeri razionali $\mathbb{Q}$

Ogni insieme di numeri reali superiormente limitato ha estremo superiore.

Abbiamo visto che l'insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali e' si' un campo ordinato (soddisfa cioe' tutti gli assomi di campo e di ordine visti in precedenza), ma non verifica quest'ultimo assioma. Per mostrare questo fatto, consideriamo l'insieme \[ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \] Questo insieme e' chiaramente superiormente limitato, ma non esiste il suo estremo superiore. L'estremo superiore sarebbe $\sqrt{2}$ che pero' non e' un numero razionale. Quindi l'insieme dei numeri razionali ha dei buchi che appunto sono tappati dall'assioma di completezza.

L'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ e' superiormente illimitato.

Supponiamo per assurdo che $\mathbb{N}$ sia superiormente limitato. L'assioma di completezza ci dice che allora esiste $sup(\mathbb{N})$, che chiameremo $b$. Consideriamo dunque $b-1$. Ovviamente quest'ultimo non puo' essere un maggiorante per $\mathbb{N}$; infatti se fosse un maggiorante, dovrebbe essere maggiore o uguale a $b$, che e' l'estremo superiore, invece $b-1 \lt b$. Poiche' $b-1$ non e' un maggiorante, esistera' un elemento $n \in \mathbb{N}$ tale che $n\gt b-1$. Ma allora $n+1\gt b$. Per la proprieta' di $\mathbb{N}$, $n \in \mathbb{N} \implies n+1 \in \mathbb{N}$ e pertanto questo contraddice il fatto che $b$ sia un maggiorante.

Vediamo due corollari di questa proprieta' dei numeri naturali

Sia $x \in \mathbb{R}$. Allora $\exists n \in \mathbb{N} : n > x$.

Se non esistesse, $x$ sarebbe un maggiorante di $\mathbb{N}$. Ma abbiamo appena visto che $\mathbb{N}$ non ha maggioranti, e quindi $n$ deve esistere.

E una conseguenza diretta del teorema precedente e' la proprieta' archimedea.

Sia $x,y \in \mathbb{R}, x>0$. Allora $\exists n : nx >y$.

Consideriamo il numero reale $y/x$. Per il teorema precedente esiste $n$ tale che $n>y/x$ da cui la tesi.

Proviamo ora un importante risultato che ci tornera' utile in seguito.

Siano $a,x,y \in \mathbb{R}$ e supponiamo che $\forall n \geq 1$ abbiamo $$ a \leq x \leq a+\frac{y}{n} $$ Allora $x=a$.

Supponiamo che $x>a$. Allora per PA $\exists n \in \mathbb{N} : n(x-a)>y$$, ma questo contraddice l'ipotesi.

Propriety di $\sup$ e $\inf$

Vediamo ora alcune proprietà importanti del $\sup$.

Sia $h>0$ e sia $S$ un insieme di numeri reali. Allora, se esiste $\sup S$, esisterà anche un numero $x\in S$ tale che $x > \sup S - h$. In maniera simmetrica, se esiste $\inf S$, allora esiste anche un numero $x \in S$ tale che $x \lt \inf S + h$.

Supponiamo, per assurdo, che per ogni $x \in S$ si abbia $x \leq \sup S - h$. Allora per definizione, $\sup S - h$ sarebbe un maggiorante per $S$. Ma questo contraddice l'ipotesi che $\sup S$ sia il più piccolo dei maggioranti.

Siano $A,B$ due insiemi, e sia $C=\{x=a+b : a \in A, b \in B\}$. Se esistono $\sup A$ e $\sup B$, allora esiste anche $\sup C$, e si ha \[ \sup C = \sup A + \sup B \] In maniera analoga, se esistono $\inf A$ e $\inf B$, allora esiste anche $\inf C$ e si ha $\inf C = \inf A + \inf B$.

Prendiamo un qualunque elemento $c \in C$. Allora $c=a+b \leq \sup A + sup B$. Questo mostra che $\sup A + \sup B$ è un maggiorante di $C$. Essendo quindi $C$ superiormente limitato, esistera sicuramente $\sup C$, e verificherà $\sup C \leq \sup A + \sup B$. Ora sia $n$ un numero intero positivo. Per il teorema precedente, abbiamo che esisteranno sicuramente $a \in A$, e $b \in B$, tali che \[ a \gt \sup A - \frac{1}{n} \] \[ b \gt \sup B - \frac{1}{n} \] Sommiamo dunque queste due quantità. \[ a+b \gt \sup A + \sup B - \frac{2}{n} \] che possiamo riscrivere come \[ \sup A + \sup B < a+b+\frac{2}{n} \leq \sup C + \frac{2}{n} \] Quindi abbiamo \[ \sup C \leq \sup A + \sup B \lt \sup C + \frac{2}{n} \] il che dimostra che $\sup C = \sup A + \sup B$. La dimostrazione nel caso dell'$\inf$ è del tutto simmetrica.

Gli assiomi di campo

Supponiamo di avere un insieme, che chiameremo $F$. Supponiamo inoltre di introdurre in questo insieme due operazioni, ossia due regole che associano ad ogni coppia di elementi di $F$ un altro elemento di $F$. Indicheremo queste due operazioni rispettivamente con i simboli $+$ e $\cdot$. Dati quindi due elementi $x,y \in F$, le due operazioni associano rispettivamente gli elementi che indicheremo con $x+y$ e $x\cdot$. Per brevità, nel seguito non utilizzeremo esplicitamente il simbolo $\cdot$ ma scriveremo semplicemente $xy$ in luogo di $x\cdot y$. Inoltre chiameremo le due operazioni $+$ e $\cdot$ rispettivamente addizione e moltiplicazione.

Diremo che $F$ soddisfa gli assiomi di campo se sono verificate le seguenti proprietà: \begin{equation}\label{eq:A1} \forall x,y \in F, x+y = y+x \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A2} \forall x,y,z \in F, x+(y+z) = (x+y)+z \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A3} \exists 0 \in F : \forall x \in F, x+0=x \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A4} \forall x \in F, \exists -x : x + (-x) = 0 \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A5} \forall x,y \in F, xy = yx \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A6} \forall x,y,z \in F, x(yz) = (xy)z \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A7} \exists 1 \in F : \forall x \in F, x \cdot 1=x \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A8} \forall x \in F, x \neq 0, \exists x^{-1} : xx^{-1} = 1 \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A9} \forall x,y,z \in F, x(y+z)=xy+xz \end{equation}

Gli assiomi \ref{eq:A1} - \ref{eq:A4} sono gli assiomi relative all'addizione; gli assiomi \ref{eq:A5} - \ref{eq:A8} sono relativi alla moltiplicazione, mentre l'assioma \ref{eq:A9} è l'unico che lega addizione e moltiplicazione.

Si possono riconoscere in \ref{eq:A1} e \ref{eq:A5} la proprietà commutativa, in \ref{eq:A2} e \ref{eq:A6} la proprietà associativa e in \ref{eq:A9} la proprietà distributive della somma rispetto al prodotto. \ref{eq:A3} e \ref{eq:A7} garantiscono l'esistenza dell'elemento neutro per le due operazioni, mentre \ref{eq:A4} e \ref{eq:A8} ci dicono che per ogni elemento del campo (con l'eccezione dello $0$ per la moltiplicazione), esiste un altro elemento che se sommato o moltiplicato per l'elemento iniziale ci fornisce l'elemento neutro della rispettiva operazione. Questo elemento viene chiamato elemento opposto (per l'addizione) o elemento inverso (per la moltiplicazione).

Nel seguito proveremo ad utilizzare gli assiomi di campo ed il metodo deduttivo per provare alcune proprieta' importanti.

Siano $a,b,c \in F$. Allora $a+b=a+c \implies b=c$. Questa e la legge di cancellazione per l'addizione, quella secondo cui in un'equazione possiamo cancellare lo stesso termine se compare a destra e a sinistra del segno $=$.

Per \ref{eq:A3} abbiamo $b=b+0$. Ma per \ref{eq:A4} abbiamo anche $b+0=b+(a+(-a))$. Applicando ora la proprieta' associative abbiamo $b+(a+(-a))=(a+b)+(a)$. Per l'ipotesi di partena $(a+b)+(-a)=(a+c)+(-a)$. Svolgendo ora al contrario tutti i passi fatti precedentemente (ossia applicando proprieta commutativa, associativa, elemento opposto ed elemento neutro) abbiamo $(a+c)+(-a)=(c+a)+(-a)=c+(a+(-a))=c+0=c$, da cui $b=c$.

Siano $a,b,c \in F, a \neq 0$. Allora $ab=ac \implies b=c$. Questa e la legge di cancellazione per il prodotto, quella secondo cui in un'equazione possiamo cancellare lo stesso fattore se compare a destra e a sinistra del segno $=$.

Per \ref{eq:A7} abbiamo $b=b\cdot 1$. Ma per \ref{eq:A8}, poiche $a\neq0$, abbiamo anche $b\cdot 1=b(aa^-1)$. Applicando ora la proprieta' associativa abbiamo $b(aa^-1)=(ba)a^-1=(ab)a^-1$. Per l'ipotesi di partenza $(ab)a^-1=(ac)a^-1$. Svolgendo ora al contrario tutti i passi fatti precedentemente (ossia applicando proprieta commutativa, associativa, elemento opposto ed elemento neutro) abbiamo $(ac)a^-1=(ca)a^-1=c(aa^-1)=c\cdot 1 = c$, da cui $b=c$.

Proviamo ora che all'interno della struttura di campo possiamo introdurre due ulteriori operazioni. La prima operazione, la sottrazione, associa ad ogni coppia di elementi $a,b$ un ulteriore elemento $c$ tale che $a+c=c$. La seconda operazione, la divisione, associa ad ogni coppia di elementi $a,b$, con $a\neq0$, un ulteriore elemento tale che $ac=b$. Ovviamente affinche tali nuove operazioni abbiano senso occorre dimostrare che l'elemento $c$ esista e sia unico.

Siano $a,b \in F$. Allora $\exists! c\in F : a+c=b$. Chiamiamo questo numero $b-a$.

Per \ref{eq:A3} sappiamo che esiste $-a$. Consideriamo allora il numero $(-a)+b$. Abbiamo che $a+((-a)+b)=(a+(-a))+b=0+b-b$. Quindi sicuramente $(-a)+b$ ci garantisce l'esistenza di $c$. Per quanto riguarda l'unicita', supponiamo esistano due numeri $c'$ e $c''$ tali che $a+c'=b$ e $a+c''=b$. Ne consegue che $a+c'=a+c''$, ma per la legge di cancellazione dell'addizione abbiamo $c'=c''$ il che prova l'unicita'.

Siano $a,b \in F, a \neq 0$. Allora $\exists! c\in F : ac=b$. Chiamiamo questo numero $b/a$.

Per \ref{eq:A7}, poiche $a\neq0$, sappiamo che esiste $a^-1$. Consideriamo allora il numero $(a^-1)b$. Abbiamo che $a(a^-1b)=(aa^-1)b=1\cdot b=b$. Quindi sicuramente $(a^-1)b$ ci garantisce l'esistenza di $c$. Per quanto riguarda l'unicita', supponiamo esistano due numeri $c'$ e $c''$ tali che $ac'=b$ e $ac''=b$. Ne consegue che $ac'=ac''$, ma per la legge di cancellazione del prodotto abbiamo $c'=c''$ il che prova l'unicita'.

Proviamo ora alcuni importanti risultati

Sia $a \in F$. Allora $-(-a) =a$.

Per definizione di elemento opposto, $-(-a)+(-a)=0$. Tuttavia e' anche vero che $a+(-a)=0$. Quindi $-(-a)+(-a)=a+(-a)$ e quindi la legge di cancellazione dell'addizione ci garantisce $-(-a)=a$.

Proviamo ora che moltiplicare per 0 da sempre 0. Avrete notato che questo non e' specificato negli assomi. Tuttavia possiamo provarlo in questo modo.

Sia $a \in F$. Allora $0 \cdot a = 0$.

Consideriamo la quantita $0\cdot a + 1\cdot a$. Applicando la proprieta distributive e \ref{eq:A3} si ha $0\cdot a + 1\cdot b= (0+1)\cdot a = 1\cdot a = 1\cdot a +0$. Questo implica che $0\cdot a + 1\cdot a = 0 + 1\cdot a$. Per la legge di cancellazione della somma $0\cdot a=0$.

Sia $a \in F, a \neq 0$. Allora $(a^-1)^-1 =a$.

Per definizione di elemento inverso, $((a^-1)^-1)a^-1=1$. Tuttavia e' anche vero che $aa^-1=1$. Quindi $((a^-1)^-1)a^-1=aa^-1$ e quindi la legge di cancellazione del prodotto ci garantisce $(a^-1)^-1 =a$.

Proviamo ora la legge di annullamento del prodotto. Questa ci dice che se un prodotto tra due fattori e' uguale a 0, allora necessariamente uno dei due deve essere 0.

Siano $a,b\in F$ con $ab=0$. Allora $a=0$ o $b=0$.

La strategia e' provare che se uno dei due termini non e' zero, l'altro necessariamente lo deve essere. Supponiamo ad esempio $a \neq 0$. Allora esiste l'inverso $a^-1$ e possiamo scrivere $b=1\cdot b = (aa^-1)b=a^-1(ab)=a^-1\cdot 0 = 0.

Come ultima dimostrazione, proviamo ora le famose relazioni piu' per meno fa meno e meno per meno fa piu'.

Siano $a,b \in F$. Allora $(-a)b=-(ab)$ e $(-a)(-b)=ab$.

Cominciamo con la prima. Consideriamo la quantita $(-a)b+ab$. Possiamo usare la proprieta distributive e scrivere $(-a)b+ab=b(a+(-a)) = b\cdot 0 = 0$. Ma e' anche vero che $ab+(-(ab)) = 0$, da cui per la legge di cancellazione $(-a)b=-(ab)$. Per quanto riguarda la seconda uguaglianza, partiamo da $(-a)(-b)+ -(ab)$. Per quanto visto prima $(-a)(-b)+(-(ab))=(-a)(-b)+(-a)b=-a(b+(-b))=0$. D'altro canto, $ab+(-(ab))=0$, da cui per la legge di cancellazione ne deriva che $(-a)(-b)=ab$.

The forward rates

The term structure and the forward rates
Let $P(t,T)$ denote the price at time $t$ of a bond paying one unit of currency at time $T$. If we see $P(t,T)$ as a function of $T$, then this will represent the term structure of bond prices available at time $t$. Let's suppose now that at time $t$ we adopt the following strategy: we buy one bond expiring at $T_2$, costing us $P(t,T_2)$. To finance this transaction, we sell $P(t,T_2)/P(t,T_1)$ units of a bond expiring at $T_1$. Since the inflow coming from the sale of this bond is equal to the outflow due to the purchase of the $T_2$ expiring bond, this strategy has a zero initial cost. The net result of this strategy is that we'll have an outflow of $P(t,T_2)/P(t,T_1)$ at time $T_1$ and an inflow of $1$ at $T_2$. This means that this strategy allows us to lock an interest rate of \begin{equation}\label{eq:fwdrate} \frac{1}{\Delta}\left(\frac{P(t,T_1)}{P(t,T_2)}-1\right) \end{equation} between $T_1$ and $T_2$ (here $\Delta$ represents the time in years between these two points in time). The set of rates given by \ref{eq:fwdrate} are known as forward rates, and will be denoted as $F(t,T_1,T_2)$ which must be read as the forward rate from $T_1$ to $T_2$ as seen at time $t$. Let's now introduce the concept of instantaneous forward rates. We can think of it as the forward rate when the tenor is very small, that is \[ f(t,T)=\lim_{\Delta \to 0}F(t,T,T+\Delta) \] We can find a very useful expression for this quantity by expanding the right hand side \[ f(t,T)=\lim_{\Delta \to 0}\frac{1}{\Delta}\left(\frac{P(t,T)}{P(t,T+\Delta)}-1\right)= \] \[ =\lim_{\Delta \to 0}\frac{1}{P(t,T+\Delta)}\left(\frac{P(t,T)-P(t,T+\Delta)}{\Delta}\right)=-\frac{1}{P(t,T)}\frac{\partial P(t,T)}{\partial T}= \] \[ =-\frac{\partial \text{ln}P(t,T)}{\partial T} \]

Short rate models part 1

Short rate models 

In a short rate model, we suppose that the short rate $r(t)$ evoloves according to a predefined SDE. What might be surprising is that once we set a model for the short rate, then the knowledge of the value of the short rate at a time $t$ allows us to fully reconstruct the yield curve. To be convinced of this, let's recall that the bond prices might be obtained, using no arbitrage pricing, as follows \begin{equation}\label{eq:bond} P(t,T) = \mathbf{E}_t^Q\left(e^{-\int_t^Tr(u)du}\right) \end{equation} There are several short-rate models used in practice. Here we'll just focus on the simplest ones.
Ho-Lee Model

This is probably the simplest model for the short rate, and it is just a simple diffusion model \begin{equation}\label{eq:holee} dr(t) = \sigma dW(t) \end{equation} where $W(t)$ is the usual Brownian motion. We will now find a closed expression for bond prices in the Ho-Lee model. Integrating from $t$ to $u$ yields \begin{equation}\label{eq:cc} r(u) = r(t) + \sigma\int_u^tdW(s) \end{equation} Pluggin \ref{eq:cc} in \ref{eq:bond} yields \[ P(t,T) = \mathbf{E}_t^Q\left(e^{-r(t)(T-t)-\int_t^T\int_t^udW(s)du}\right) \] The double integral can be addressed using Fubini's theorem. Exchanging the order of integration between $u$ and $s$ we have \[ \int_t^T\int_t^u dW(s)du=\int_t^T\int_s^T du dW(s) = \int_t^T (T-s)dW(s) \] This implies that $-\int_t^Tr(u)du$ is normally distributed with mean $-r(t)(T-t)$ and variance \[ \frac{1}{3}\sigma^2(T-t)^3 \] This implies that $e^{-\int_t^Tr(u)du}$ is log-normal. Since the expectation of a log-normal variable is $e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}$, we can say that \begin{equation}\label{eq:holeebond} P(t,T)=\text{exp}\left(-r(t)(T-t)+\frac{1}{6}\sigma^2(T-t)^3\right) \end{equation} We can now derive the expression for the continuos yield, which is simply \[ y(t,T)=-\frac{\text{ln}P(t,T)}{T-t}=r(t)-\frac{1}{6}\sigma^2(T-t)^2 \] In the simple form \ref{eq:holee} it's clearly impossible to fit the term structure of discount bonds, since we only have two parameters to play with, $r(0)$ and $\sigma$. Let's now make the model more flexible by adding a deterministic function of time to the model \begin{equation}\label{eq:hl1} r(t) = r(0) + a(t) + \sigma W(t) \end{equation} The question now becomes: is it possible with this extended model to fit the initial term structure of discount bonds? And if so, what functional form $a(t)$ should have? If we assume the short rate follows \ref{eq:hl1}, that is, that the short rate process follows the SDE \begin{equation}\label{eq:hl2} dr(t) = a'(t)dt + \sigma dW(t) \end{equation} then following the same reasoning that led us to \ref{eq:holeebond}, will give us the expression for the bond prices at time $0$ in this new set-up, which is the same except for an additional factor \[ P_m(0,t)=\text{exp}\left(-r(0)t+\frac{1}{6}\sigma^2 t^3\right) \text{exp}\left(-\int_0^ta(u)du\right) \] where we have added the subscript $m$ to emphasize that these are the bond prices implied by the model, to distinguish it from the market observable bond prices $P(0,t)$. If we want to find the expression for $a(t)$ such that $P_m(0,t)=P(0,t)$ then we get, by taking the log of both sides of the equation we have \[ -\int_0^t a(u)du = r(0)t - \frac{1}{6}\sigma^2t^3 + \text{ln}P(0,t) \] Taking the derivative of both sides yields \[ a(t)=-\frac{\partial \text{ln}P(0,t)}{\partial t} - r(0) + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2=f(0,t)-r(0)+\frac{1}{2}\sigma^2t^2 \]

Girsanov's theorem

Girsanov's theorem 

Let's consider two equivalent probability measures $\textbf{P}$ and $\textbf{P}^\theta$ on the measurable space $(\Omega,\cal{F})$. According to Radon-Nikodym's theorem, we know that there exists a martingale $\zeta^\theta$ such that \[ \zeta^\theta(t)=\mathbf{E}^\mathbf{P}_t\left(\frac{d\mathbf{P}^\theta}{d\mathbf{P}}\right) \] where $\frac{d\mathbf{P}^\theta}{d\mathbf{P}}$ is the Radon-Nikodym derivative linking the two probability measures. Let's now suppose that $\zeta^\theta$ satisfies the SDE \[ \frac{d\zeta^\theta}{\zeta^\theta}=-\theta(t)dW(t) \] This equation can be easily solved using Ito's lemma, yielding \[ \zeta^\theta = \text{exp}\left[-\int_0^t \theta_s dW_s -\frac{1}{2}\int_0^t \theta^2_s ds \right] \] Now, this is not necessarily a martingale. A sufficient (however difficult to verify) condition is the Novikov condition. For sake of simplicity, we'll assume that $\zeta^\theta$ is indeed a martingale. Under the above assumptions, if $W(t)$ is a Brownian motion under $\textbf{P}$, then the process \[ dW^\theta_t = dW_t + \theta_t dt \label{a}\tag{1} \] is a martingale under $\textbf{P}^\theta$.

A simple exercise
Let's suppose we have an economy with an asset whose dynamics in the physical measure is \[ dX_t=\mu X_t dt + \sigma X_t dW_t \label{b}\tag{2} \] and a bank account $B_t$ with the usual dynamics $dB_t/B_t = r dt$. What is the dynamics of $X$ under the risk-neutral measure?

We can start by reminding that under the risk-neutral measure, the discounted asset price $X_t/B_t$ is a martingale. Let's find the dynamics of this process under the physical measure. Since \[ d\left(\frac{X_t}{B_t}\right)=\frac{dX_t}{B_t}-\frac{X_t dB_t}{B_t^2} \] we can write \[ d\left(\frac{X_t}{B_t}\right)/\frac{X_t}{B_t}=\frac{dX_t}{X_t}-\frac{dB_t}{B_t}=(\mu-r)dt+\sigma dW_t \] If we change measure to $\textbf{P}^\theta$, we get, according to Girsanov's theorem \[ d\left(\frac{X_t}{B_t}\right)/\frac{X_t}{B_t}=(\mu-r-\sigma \theta)dt+\sigma dW_t^\theta \] We need now to choose the market price of risk $\theta$ in order to remove the drift of the process. We easily get \[ \theta = \frac{\mu-r}{\sigma} \] With this choice, the normalized asset price is a martingale, therefore this is the risk-neutral measure. In order to find out what is the dynamics of the asset price (non normalised) we simply substitute \ref{a} in \ref{b} yielding \[ \frac{dX_t}{X_t}=r dt + \sigma dW_t^\theta \] which is the known result stating that asset prices grow at the risk-free rate in the risk-neutral world.