Insiemi e funzioni

In questo post diamo le nozioni di base su insiemi e funzioni. Si tratta di argomenti molto generici e vasti, per cui trattiamo solamente quanto basta per affrontare un corso di Analisi Matematica I. Un insieme non e' altro che una collezione di oggetti. Ora gli oggetti possono essere di qualunque tipo, quindi ad esempio insiemi validi possono essere: l'insieme delle lettere dell'alfabeto italiano, l'insieme dei numeri naturali, l'insieme degli imperatori romani. Gli oggetti che appartengono ad un insieme si chiamano elementi. Solitamente gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto, ad esempio $A,B,C,\ldots$ mentre i singoli elementi vengono indicati con le lettere minuscole $a,b,c,\ldots$. Il fatto che un elemento $a$ appartiene all'insieme $A$ si indica con la simbologia \[ a \in A \] Dati due insiemi $A$ e $B$, se ogni elemento di $A$ appartiene a $B$, allora si dice che $A$ e' un sottoinsieme di $B$ e si indica con $A \subseteq B$.

Siano $A,B$ insiemi. $A \subseteq B \iff (x \in A \implies x \in B)$

Siano $A,B$ insiemi. Allora $A = B \iff (A \subseteq B \text{ e } B \subseteq A)$

Un insieme puo' anche non contenere alcun elemento. In questo caso parliamo di insieme vuoto e lo indichiamo con il simbolo $\emptyset$. In questo caso stabiliamo che $\emptyset$ e' un sottoinsieme di qualunqua altro elemento.

Operazioni tra insiemi

Introduciamo alcune operazioni che possono essere eseguite tra due insiemi (unione, intersezione, differenza)

Siano $A,B$ due insiemi. Allora definiamo unione di $A$ e $B$ l'insieme $A \cup B = \{ x : x \in A \text{ o } x \in B \}$

Siano $A,B$ due insiemi. Allora definiamo intersezione di $A$ e $B$ l'insieme $A \cap B = \{ x : x \in A \text{ e } x \in B \}$

Siano $A,B$ due insiemi. Allora definiamo $A - B = \{ x : x \in A \text{ e } x \notin B \}$

Funzioni

Dati due insiemi qualunque $A$ e $B$, una funzione da $A$ in $B$ e' una legge che associa ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$. L'insieme di partenza $A$ si chiama dominio della funzione $f$, mentre l'insieme di arrivo $B$ e' detto codominio di $f$. Se $x \in A$, allora il valore della funzione corrispondente a $x$ viene indicato con la simbologia $f(x)$. La definizione di funzione e' tutta qui, ma occorre fare alcune precisazioni che torneranno utili nel seguito. L'oggetto di studio dell'analisi matematica sono le funzioni reali di variable reale, ossia delle funzioni in cui il dominio e' un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ (l'insieme dei numeri reali) e il codominio e' $\mathbb{R}$.

Definire una funzione significa definire il dominio e una regola univoca attraverso la quale possiamo calcolare $f(x)$ per qualunque $x$ del dominio. La regola puo' essere espressa in qualunque maniera, purche' sia chiara e univoca. Solitamente molte funzioni vengono espresse mediante formule (si dice ad esempio, consideriamo la funzione $f(x)=2x$, ma occorre stabilire fin da ora che una funzione non e' una formula, ma una formula e' solo un modo per descrivere come si calcola $f(x)$ per ogni valore di $x$. Spesso si ha a che fare con funzioni che non hanno una formula esplicita - anzi la maggior parte delle funzioni non ha una formula esplicita in termini di funzioni elementari. Come dicevamo prima, in alcuni casi si parlera della funzione $f(x)=2x$ o $f(x)=\ln(x)$ senza specificare quale sia il loro dominio. In tal caso, si considera in modo tacito come dominio il piu grande sottoinsieme di $\mathbb{R}$ in cui queste funzioni sono definite. Quindi nei casi di cui sopra, il dominio di $f(x)=2x$ sara' $\mathbb{R}$ mentre il dominio di $f(x)=\ln(x)$ sara' $(0,+\inf)$, ossia i numeri reali maggiori di $0$.

Grafici di funzione

Possiamo raprpeentare graficamente una funzione nel piano cartesiano. L'asse delle ascisse rappresenta il dominio, mentre l'asse delle ordinate il codominio. Possiamo quindi fissare alcuni punti $x$ del dominio, calcolare $f(x)$ e tracciare sul grafico i punti $(x,f(x))$. L'insieme $(x, f(x))$ e' detto grafico ella funzione $f$. Si osservi che, poiche' per definizione una funzione associa ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio, ne deriva che se rappresentiamo il dominio sull'asse delle ascisse - come si fa di solito, ogni retta verticale intersechera' il grafico in uno ed un solo punto. In generale, una retta orizzontale potra' incontrare il grafico della funzione una, nessuna o piu' di una volta. E' infatti possibile che un punto del codominio abbia piu' di un punto del dominio che vengono mappati ad esso. Per esempio, consideriamo la funzione $f(x)=x^2$. Abbiamo $f(-1)=f(1)=1$, quindi esistono due punti del dominio, $-1$ e $1$, che hanno immagine $1$.