Massimi, minimi, sup e inf e assioma di completezza

Supponiamo di avere un sottoinsieme $S \subset F$ dove $F$ e' un campo ordinato (ad esempio $\mathbb{R}$).

Un elemento $B \in F$ e' detto un maggiorante di $S$ se $\forall x \in S, x \leq B$. In questo caso diciamo anche che S e' limitato superiormente.

Il massimo di un insieme $S$, se esiste, e' un maggiorante di $S$ che appartiene ad $S$, e si indica con $\max(S)$.

In maniera analoga possiamo definire un minorante e il minimo di un insieme

Un elemento $B \in F$ e' detto un minorante di $S$ se $\forall x \in S, x \geq B$. In questo caso diciamo anche che S e' limitato inferiormente.

Il minimo di un insieme $S$, se esiste, e' un minorante di $S$ che appartiene ad $S$, e si indica con $\min(S)$.

Supponiamo ora di avere l'insieme $S={x \in \mathbb{R} : x<1}$. L'insieme e' chiaramente superiormente limitato, ed ogni numero maggiore o uguale ad 1 e' un maggiorante di $S$. Tuttavia, l'insieme non ha un massimo, in quanto nessun maggiorante (ad esempio $1$) di $S$ appartiene ad $S$. A tal fine introduciamo il concetto di estremo superiore (o $\sup$).

Dato un insieme $S$, chiamiamo $\sup(S)$ quel numero $B$, se esiste, che soddisfa le due condizioni:

B e' un maggiorante di $S$

se $x$ e' un qualunque maggiorante di $S$, allora $x\geq B$

Sia $S \subset F$. Se esiste $\sup(S)$, allora e' unico.

Siano $A$ e $B$ due numeri che verificano la definizione di $sup(S)$. Allora devono essere due maggioranti. La seconda condizione affinche' un numero sia $\sup(S)$ implica che ogni altro maggiorante deve essere maggiore uguale ad esso. Se applichiamo questa definizione rispettivamente ad $A$ e $B$ otteniamo che devono essere vere sia $B \geq A$ che $A \geq B$, il che implica $A=B$.

In maniera del tutto analoga possiamo introdurre il concetto di estremo inferior, o $\inf$ di un insieme $S$. Vale ovviamente un teorema di unicita' del tutto analogo a quello per il $\sup$.

Dato un insieme $S$, chiamiamo $\inf(S)$ quel numero $B$, se esiste, che soddisfa le due condizioni:

B e' un minorante di $S$

se $x$ e' un qualunque minorante di $S$, allora $x\leq B$

Assioma di completezza

Siamo pronti ora ad introdurre l'ultimo fondamentale assioma che differenzia il campo dei numeri reali $\mathbb{R}$ da quello dei numeri razionali $\mathbb{Q}$

Ogni insieme di numeri reali superiormente limitato ha estremo superiore.

Abbiamo visto che l'insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali e' si' un campo ordinato (soddisfa cioe' tutti gli assomi di campo e di ordine visti in precedenza), ma non verifica quest'ultimo assioma. Per mostrare questo fatto, consideriamo l'insieme \[ x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2 \] Questo insieme e' chiaramente superiormente limitato, ma non esiste il suo estremo superiore. L'estremo superiore sarebbe $\sqrt{2}$ che pero' non e' un numero razionale. Quindi l'insieme dei numeri razionali ha dei buchi che appunto sono tappati dall'assioma di completezza.

L'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ e' superiormente illimitato.

Supponiamo per assurdo che $\mathbb{N}$ sia superiormente limitato. L'assioma di completezza ci dice che allora esiste $sup(\mathbb{N})$, che chiameremo $b$. Consideriamo dunque $b-1$. Ovviamente quest'ultimo non puo' essere un maggiorante per $\mathbb{N}$; infatti se fosse un maggiorante, dovrebbe essere maggiore o uguale a $b$, che e' l'estremo superiore, invece $b-1 \lt b$. Poiche' $b-1$ non e' un maggiorante, esistera' un elemento $n \in \mathbb{N}$ tale che $n\gt b-1$. Ma allora $n+1\gt b$. Per la proprieta' di $\mathbb{N}$, $n \in \mathbb{N} \implies n+1 \in \mathbb{N}$ e pertanto questo contraddice il fatto che $b$ sia un maggiorante.

Vediamo due corollari di questa proprieta' dei numeri naturali

Sia $x \in \mathbb{R}$. Allora $\exists n \in \mathbb{N} : n > x$.

Se non esistesse, $x$ sarebbe un maggiorante di $\mathbb{N}$. Ma abbiamo appena visto che $\mathbb{N}$ non ha maggioranti, e quindi $n$ deve esistere.

E una conseguenza diretta del teorema precedente e' la proprieta' archimedea.

Sia $x,y \in \mathbb{R}, x>0$. Allora $\exists n : nx >y$.

Consideriamo il numero reale $y/x$. Per il teorema precedente esiste $n$ tale che $n>y/x$ da cui la tesi.

Proviamo ora un importante risultato che ci tornera' utile in seguito.

Siano $a,x,y \in \mathbb{R}$ e supponiamo che $\forall n \geq 1$ abbiamo $$ a \leq x \leq a+\frac{y}{n} $$ Allora $x=a$.

Supponiamo che $x>a$. Allora per PA $\exists n \in \mathbb{N} : n(x-a)>y$$, ma questo contraddice l'ipotesi.

Propriety di $\sup$ e $\inf$

Vediamo ora alcune proprietà importanti del $\sup$.

Sia $h>0$ e sia $S$ un insieme di numeri reali. Allora, se esiste $\sup S$, esisterà anche un numero $x\in S$ tale che $x > \sup S - h$. In maniera simmetrica, se esiste $\inf S$, allora esiste anche un numero $x \in S$ tale che $x \lt \inf S + h$.

Supponiamo, per assurdo, che per ogni $x \in S$ si abbia $x \leq \sup S - h$. Allora per definizione, $\sup S - h$ sarebbe un maggiorante per $S$. Ma questo contraddice l'ipotesi che $\sup S$ sia il più piccolo dei maggioranti.

Siano $A,B$ due insiemi, e sia $C=\{x=a+b : a \in A, b \in B\}$. Se esistono $\sup A$ e $\sup B$, allora esiste anche $\sup C$, e si ha \[ \sup C = \sup A + \sup B \] In maniera analoga, se esistono $\inf A$ e $\inf B$, allora esiste anche $\inf C$ e si ha $\inf C = \inf A + \inf B$.

Prendiamo un qualunque elemento $c \in C$. Allora $c=a+b \leq \sup A + sup B$. Questo mostra che $\sup A + \sup B$ è un maggiorante di $C$. Essendo quindi $C$ superiormente limitato, esistera sicuramente $\sup C$, e verificherà $\sup C \leq \sup A + \sup B$. Ora sia $n$ un numero intero positivo. Per il teorema precedente, abbiamo che esisteranno sicuramente $a \in A$, e $b \in B$, tali che \[ a \gt \sup A - \frac{1}{n} \] \[ b \gt \sup B - \frac{1}{n} \] Sommiamo dunque queste due quantità. \[ a+b \gt \sup A + \sup B - \frac{2}{n} \] che possiamo riscrivere come \[ \sup A + \sup B < a+b+\frac{2}{n} \leq \sup C + \frac{2}{n} \] Quindi abbiamo \[ \sup C \leq \sup A + \sup B \lt \sup C + \frac{2}{n} \] il che dimostra che $\sup C = \sup A + \sup B$. La dimostrazione nel caso dell'$\inf$ è del tutto simmetrica.