Gli assiomi di campo

Supponiamo di avere un insieme, che chiameremo $F$. Supponiamo inoltre di introdurre in questo insieme due operazioni, ossia due regole che associano ad ogni coppia di elementi di $F$ un altro elemento di $F$. Indicheremo queste due operazioni rispettivamente con i simboli $+$ e $\cdot$. Dati quindi due elementi $x,y \in F$, le due operazioni associano rispettivamente gli elementi che indicheremo con $x+y$ e $x\cdot$. Per brevità, nel seguito non utilizzeremo esplicitamente il simbolo $\cdot$ ma scriveremo semplicemente $xy$ in luogo di $x\cdot y$. Inoltre chiameremo le due operazioni $+$ e $\cdot$ rispettivamente addizione e moltiplicazione.

Diremo che $F$ soddisfa gli assiomi di campo se sono verificate le seguenti proprietà: \begin{equation}\label{eq:A1} \forall x,y \in F, x+y = y+x \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A2} \forall x,y,z \in F, x+(y+z) = (x+y)+z \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A3} \exists 0 \in F : \forall x \in F, x+0=x \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A4} \forall x \in F, \exists -x : x + (-x) = 0 \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A5} \forall x,y \in F, xy = yx \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A6} \forall x,y,z \in F, x(yz) = (xy)z \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A7} \exists 1 \in F : \forall x \in F, x \cdot 1=x \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A8} \forall x \in F, x \neq 0, \exists x^{-1} : xx^{-1} = 1 \end{equation} \begin{equation}\label{eq:A9} \forall x,y,z \in F, x(y+z)=xy+xz \end{equation}

Gli assiomi \ref{eq:A1} - \ref{eq:A4} sono gli assiomi relative all'addizione; gli assiomi \ref{eq:A5} - \ref{eq:A8} sono relativi alla moltiplicazione, mentre l'assioma \ref{eq:A9} è l'unico che lega addizione e moltiplicazione.

Si possono riconoscere in \ref{eq:A1} e \ref{eq:A5} la proprietà commutativa, in \ref{eq:A2} e \ref{eq:A6} la proprietà associativa e in \ref{eq:A9} la proprietà distributive della somma rispetto al prodotto. \ref{eq:A3} e \ref{eq:A7} garantiscono l'esistenza dell'elemento neutro per le due operazioni, mentre \ref{eq:A4} e \ref{eq:A8} ci dicono che per ogni elemento del campo (con l'eccezione dello $0$ per la moltiplicazione), esiste un altro elemento che se sommato o moltiplicato per l'elemento iniziale ci fornisce l'elemento neutro della rispettiva operazione. Questo elemento viene chiamato elemento opposto (per l'addizione) o elemento inverso (per la moltiplicazione).

Nel seguito proveremo ad utilizzare gli assiomi di campo ed il metodo deduttivo per provare alcune proprieta' importanti.

Siano $a,b,c \in F$. Allora $a+b=a+c \implies b=c$. Questa e la legge di cancellazione per l'addizione, quella secondo cui in un'equazione possiamo cancellare lo stesso termine se compare a destra e a sinistra del segno $=$.

Per \ref{eq:A3} abbiamo $b=b+0$. Ma per \ref{eq:A4} abbiamo anche $b+0=b+(a+(-a))$. Applicando ora la proprieta' associative abbiamo $b+(a+(-a))=(a+b)+(a)$. Per l'ipotesi di partena $(a+b)+(-a)=(a+c)+(-a)$. Svolgendo ora al contrario tutti i passi fatti precedentemente (ossia applicando proprieta commutativa, associativa, elemento opposto ed elemento neutro) abbiamo $(a+c)+(-a)=(c+a)+(-a)=c+(a+(-a))=c+0=c$, da cui $b=c$.

Siano $a,b,c \in F, a \neq 0$. Allora $ab=ac \implies b=c$. Questa e la legge di cancellazione per il prodotto, quella secondo cui in un'equazione possiamo cancellare lo stesso fattore se compare a destra e a sinistra del segno $=$.

Per \ref{eq:A7} abbiamo $b=b\cdot 1$. Ma per \ref{eq:A8}, poiche $a\neq0$, abbiamo anche $b\cdot 1=b(aa^-1)$. Applicando ora la proprieta' associativa abbiamo $b(aa^-1)=(ba)a^-1=(ab)a^-1$. Per l'ipotesi di partenza $(ab)a^-1=(ac)a^-1$. Svolgendo ora al contrario tutti i passi fatti precedentemente (ossia applicando proprieta commutativa, associativa, elemento opposto ed elemento neutro) abbiamo $(ac)a^-1=(ca)a^-1=c(aa^-1)=c\cdot 1 = c$, da cui $b=c$.

Proviamo ora che all'interno della struttura di campo possiamo introdurre due ulteriori operazioni. La prima operazione, la sottrazione, associa ad ogni coppia di elementi $a,b$ un ulteriore elemento $c$ tale che $a+c=c$. La seconda operazione, la divisione, associa ad ogni coppia di elementi $a,b$, con $a\neq0$, un ulteriore elemento tale che $ac=b$. Ovviamente affinche tali nuove operazioni abbiano senso occorre dimostrare che l'elemento $c$ esista e sia unico.

Siano $a,b \in F$. Allora $\exists! c\in F : a+c=b$. Chiamiamo questo numero $b-a$.

Per \ref{eq:A3} sappiamo che esiste $-a$. Consideriamo allora il numero $(-a)+b$. Abbiamo che $a+((-a)+b)=(a+(-a))+b=0+b-b$. Quindi sicuramente $(-a)+b$ ci garantisce l'esistenza di $c$. Per quanto riguarda l'unicita', supponiamo esistano due numeri $c'$ e $c''$ tali che $a+c'=b$ e $a+c''=b$. Ne consegue che $a+c'=a+c''$, ma per la legge di cancellazione dell'addizione abbiamo $c'=c''$ il che prova l'unicita'.

Siano $a,b \in F, a \neq 0$. Allora $\exists! c\in F : ac=b$. Chiamiamo questo numero $b/a$.

Per \ref{eq:A7}, poiche $a\neq0$, sappiamo che esiste $a^-1$. Consideriamo allora il numero $(a^-1)b$. Abbiamo che $a(a^-1b)=(aa^-1)b=1\cdot b=b$. Quindi sicuramente $(a^-1)b$ ci garantisce l'esistenza di $c$. Per quanto riguarda l'unicita', supponiamo esistano due numeri $c'$ e $c''$ tali che $ac'=b$ e $ac''=b$. Ne consegue che $ac'=ac''$, ma per la legge di cancellazione del prodotto abbiamo $c'=c''$ il che prova l'unicita'.

Proviamo ora alcuni importanti risultati

Sia $a \in F$. Allora $-(-a) =a$.

Per definizione di elemento opposto, $-(-a)+(-a)=0$. Tuttavia e' anche vero che $a+(-a)=0$. Quindi $-(-a)+(-a)=a+(-a)$ e quindi la legge di cancellazione dell'addizione ci garantisce $-(-a)=a$.

Proviamo ora che moltiplicare per 0 da sempre 0. Avrete notato che questo non e' specificato negli assomi. Tuttavia possiamo provarlo in questo modo.

Sia $a \in F$. Allora $0 \cdot a = 0$.

Consideriamo la quantita $0\cdot a + 1\cdot a$. Applicando la proprieta distributive e \ref{eq:A3} si ha $0\cdot a + 1\cdot b= (0+1)\cdot a = 1\cdot a = 1\cdot a +0$. Questo implica che $0\cdot a + 1\cdot a = 0 + 1\cdot a$. Per la legge di cancellazione della somma $0\cdot a=0$.

Sia $a \in F, a \neq 0$. Allora $(a^-1)^-1 =a$.

Per definizione di elemento inverso, $((a^-1)^-1)a^-1=1$. Tuttavia e' anche vero che $aa^-1=1$. Quindi $((a^-1)^-1)a^-1=aa^-1$ e quindi la legge di cancellazione del prodotto ci garantisce $(a^-1)^-1 =a$.

Proviamo ora la legge di annullamento del prodotto. Questa ci dice che se un prodotto tra due fattori e' uguale a 0, allora necessariamente uno dei due deve essere 0.

Siano $a,b\in F$ con $ab=0$. Allora $a=0$ o $b=0$.

La strategia e' provare che se uno dei due termini non e' zero, l'altro necessariamente lo deve essere. Supponiamo ad esempio $a \neq 0$. Allora esiste l'inverso $a^-1$ e possiamo scrivere $b=1\cdot b = (aa^-1)b=a^-1(ab)=a^-1\cdot 0 = 0.

Come ultima dimostrazione, proviamo ora le famose relazioni piu' per meno fa meno e meno per meno fa piu'.

Siano $a,b \in F$. Allora $(-a)b=-(ab)$ e $(-a)(-b)=ab$.

Cominciamo con la prima. Consideriamo la quantita $(-a)b+ab$. Possiamo usare la proprieta distributive e scrivere $(-a)b+ab=b(a+(-a)) = b\cdot 0 = 0$. Ma e' anche vero che $ab+(-(ab)) = 0$, da cui per la legge di cancellazione $(-a)b=-(ab)$. Per quanto riguarda la seconda uguaglianza, partiamo da $(-a)(-b)+ -(ab)$. Per quanto visto prima $(-a)(-b)+(-(ab))=(-a)(-b)+(-a)b=-a(b+(-b))=0$. D'altro canto, $ab+(-(ab))=0$, da cui per la legge di cancellazione ne deriva che $(-a)(-b)=ab$.